指数函数的性质

指数函数的单调性如何证明

指数函数的单调性如何证明
y=a^x 如果a>1,则函数单调递增,如果0<a<1,则函数单调递减.

1、复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；

2、复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X。

因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大。

因此可得“同增” 若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小。

反之亦然，因此可得“异减”。
指数函数的单调性证明例题
举个简单的例子：y=5 上标x次方，用定义法求

令x1<x2

y1=5^x1>0

y2=5^x2>0

y1/y2

=5^x1/5^x2

=5^(x1-x2)

因为x1＜x2 所以 x1-x2＜0 5^(x1-x2)＜1

所以 y1＜y2

根据增函数定义可知

y=5上标x次方，在定义域内为增函数

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指数函数用定义证明单调性，一般做商，之后再与1比较大小

指数函数的单调性

首先，y＝a^x是指数函数，我们一般讨论a>0，且a≠1的情况。当指数α是负整数时，设α=-k，则，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点：一是有可能作为分母而不能是0。一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：α小于0时，x不等于0；α的分母为偶数时，x不小于0；α的分母为奇数时，x取R。单调区间：当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性。①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。当α为分数时（且分子为1），α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性。

指数函数的性质

指数函数的性质指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。一般地，y=a^x函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。注意，在指数函数的定义表达式中，在a^x前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数。当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于0的时候，y等于1。当0<a<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于0的时候，y等于1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。

指数函数的定义是什么?

指数函数是初等基本函数，通常来说函数y=a^x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量。指数函数的自变量范围是（-∞，+∞），因变量范围是（0,+∞）。当指数函数自变量范围在（-∞，0）时，因变量输出范围为（0，1）。在神经网络中可以用指数函数的这两个性质对数据进行（-∞，+∞）到（0，+∞）或者（-∞，0）到（0，1）的映射。指数函数的特点及应用情况：指数函数也可以实现区间映射，但对数函数和指数函数互为反函数，因此对数函数和指数函数映射的区间也正好相反。指数函数在自然科学和经济生活中有着广泛的应用，要了解指数函数的实际应用举例，能够应用指数函数的性质解决简单的实际问题。指数函数对很多的真实世界问题—比如说人口增加、放射性衰变、热辐射，以及很多其他的现象，都能够用来建立建模。