高中数学椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质知识点
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆双曲线抛物线 定义： 1、到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹 2、到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0|F1F2|)的点的轨迹 3、与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(02.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 图形 方程标准方程(0,b0)y2=2px 参数方程 (t为参数) 范围─a￡x￡a，─b￡y￡b|x| 3 a，y Rx30 中心原点O(0，0)原点O(0，0) 顶点(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)(a,0), (─a,0)(0,0) 对称轴x轴，y轴; 长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b.x轴 焦点F1(c,0), F2(─c,0)F1(c,0), F2(─c,0) 焦距2c (c=)2c (c=) 离心率e=1 准线x=x= 渐近线y=x 焦半径 通径 2p 焦参数 P 数学椭圆知识点双曲线 ⑴集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的'位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径 余弦定理b2=a2+c2—2accosB注：角B是边a和边c的夹角 圆的标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2注：（a，b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2—4F>0 抛物线标准方程y2=2pxy2=—2p_2=2pyx2=—2py 直棱柱侧面积S=c_h斜棱柱侧面积S=c'_h 正棱锥侧面积S=1/2c_h'正棱台侧面积S=1/2（c+c'）h' 圆台侧面积S=1/2（c+c'）l=pi（R+r）l球的表面积S=4pi_r2 圆柱侧面积S=c_h=2pi_h圆锥侧面积S=1/2_c_l=pi_r_l 弧长公式l=a_ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2_l_r 锥体体积公式V=1/3_S_H圆锥体体积公式V=1/3_pi_r2h 斜棱柱体积V=S'L注：其中，S'是直截面面积，L是侧棱长 柱体体积公式V=s_h圆柱体V=p_r2h 乘法与因式分a2—b2=（a+b）（a—b）a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）a3—b3=（a—b（a2+ab+b2） 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a—b|≤|a|+|b||a|≤b—b≤a≤b |a—b|≥|a|—|b|—|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解—b+√（b2—4ac）/2a—b—√（b2—4ac）/2a 根与系数的关系X1+X2=—b/aX1_X2=c/a注：韦达定理 判别式 b2—4ac=0注：方程有两个相等的实根 b2—4ac>0注：方程有两个不等的实根 b2—4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根 两角和公式 sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A—B）=sinAcosB—sinBcosA cos（A+B）=cosAcosB—sinAsinBcos（A—B）=cosAcosB+sinAsinB tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1—tanAtanB）tan（A—B）=（tanA—tanB）/（1+tanAtanB） ctg（A+B）=（ctgActgB—1）/（ctgB+ctgA）ctg（A—B）=（ctgActgB+1）/（ctgB—ctgA） 倍角公式 tan2A=2tanA/（1—tan2A）ctg2A=（ctg2A—1）/2ctga cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a 半角公式 sin（A/2）=√（（1—cosA）/2）sin（A/2）=—√（（1—cosA）/2） cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=—√（（1+cosA）/2） tan（A/2）=√（（1—cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=—√（（1—cosA）/（（1+cosA）） ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1—cosA））ctg（A/2）=—√（（1+cosA）/（（1—cosA）） 和差化积 2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A—B）2cosAsinB=sin（A+B）—sin（A—B） 2cosAcosB=cos（A+B）—sin（A—B）—2sinAsinB=cos（A+B）—cos（A—B） sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A—B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A—B）/2） tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA—tanB=sin（A—B）/cosAcosB ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB—ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB
哪位大事能给我归纳一下高中数学解析几何啊,椭圆,双曲线,抛物线的知识.
(一)椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义：椭圆的定义中,平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于| F1F2|,则这样的点不存在；若距离之和等于
| F1F2|,则动点的轨迹是线段F1F2
2.椭圆的标准方程：x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）,y?/a?+x?/b?=1（a＞b＞0）.
3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x?项的分母大于y?项的分母,则椭圆的焦点在x轴上,反之,焦点在y轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.
(二)椭圆的简单几何性质
1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）.
⑴ 范围： -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
⑶ 顶点：有四个A1（-a,0）、A2（a,0）B1（0,-b）、B2（0,b）.
线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e=c/a叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时,椭圆越扁；反之,e越接近于0时,椭圆就越接近于圆.
2.椭圆的第二定义
⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=c/a（e＜1时,这个动点的轨迹是椭圆.
⑵ 准线：根据椭圆的对称性,x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）的准线有两条,它们的方程为x=±（a?/c）.对于椭圆y?/a?+x?/b?=1（a＞b＞0）的准线方程,只要把x换成y就可以了,即y=
±（a?/c）.
3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
设F1（-c,0）,F2（c,0）分别为椭圆x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）的左、右两焦点,M（x,y）是椭圆上任一点,则两条焦半径长分别为|MF1|=a+ex,|MF2|=a+ex.
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有a?=b?+c?,e=c/a两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.
4.椭圆的参数方程
椭圆x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）的参数方程为x=acosθ,y=bsinθ（θ为参数）.
说明：⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：tanα=（b/a）tanθ；
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程x?/a?+y?/b?=1与三角恒等式sin?θ+cos?θ=1相比较而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.
5.椭圆的的内外部
（1）点P（x0,y0）在椭圆x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）的内部,得出x0?/a?+y0?/b?＜1.
（2）点P（x0,y0）在椭圆x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）的外部,得出 x0?/a?+y0?/b?＞1.
6. 椭圆的切线方程
（1）椭圆x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）上一点P（x0,y0）处的切线方程是（x0?x）/a?+（y0?y）/b?=1.
（2）过椭圆x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）外一点P（x0,y0）所引两条切线的切点弦方程是（x0?x）/a?+（y0?y）/b?=1.
（3）椭圆x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）与直线Ax+By+C=0相切的条件是A?a?+B?b?=c?
(三)双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件2a＜|F1F2|,这一条件可以用“三角形的两
边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|,则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|,则无轨迹.若|MF1|＜|MF2|时,动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若|MF1|＞|MF2|时,轨迹为
双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.
2.双曲线的标准方程：x?/a?-y?/b?=1和y?/a?+x?/b?=1（a＞0,b＞0）.这里b?=c?-a?,其中|F1F2|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果x?项的系数是正数,则焦点在x轴上；如果 项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大
小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.
(四)双曲线的简单几何性质
1.双曲线：x?/a?-y?/b?=1的实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率e=c/a＞1,离心率e越大,双曲线的开口越大.
2. 双曲线：x?/a?-y?/b?=1的渐近线方程为y=±（b/a）或表示为：x?/a?-y?/b?=0.若已知双曲线的渐近线方程是y=±（m/n）x,即mx±ny=0,那么双曲线的方程具有以下形式：m?x?-
n?y?=k,其中k是一个不为零的常数.
3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线：x?/a?-y?/b?=1,它的焦点坐标是（-c,0）
和（c,0）,与它们对应的准线方程分别是x=-a?/c和x=a?/c.双曲线：x?/a?-y?/b?=1(a＞0,b＞0)的焦半径公式|PF1|=|e（x+a?/c）|,|PF2|=|e（-x+a?/c）|.
4.双曲线的内外部
(1)点P（x0,y0）在双曲线x?/a?-y?/b?=1(a＞0,b＞0)的内部,得出x0?/a?-y0?/b?＜1.
(2)点P（x0,y0）在双曲线x?/a?-y?/b?=1(a＞0,b＞0)的外部,得出x0?/a?-y0?/b?＞1.
5.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为x?/a?-y?/b?=1得出渐近线方程：x?/a?±y?/b?=0得出y=±（a/b）x.
(2)若渐近线方程为y=±（a/b）x,得出 x?/a?±y?/b?=0,双曲线可设为x?/a?-y?/b?=λ.
(3)若双曲线与x?/a?-y?/b?=1有公共渐近线,可设为x?/a?-y?/b?=λ（λ＞0,焦点在x轴上,λ＜0,焦点在y轴上）.
6. 双曲线的切线方程
（1）双曲线x?/a?-y?/b?=1(a＞0,b＞0)上一点P（x0,y0）处的切线方程是（x0?x）/a?-（y0?y）/b?=1.
（2）过双曲线x?/a?-y?/b?=1(a＞0,b＞0)外一点P（x0,y0）所引两条切线的切点弦方程是（x0?x）/a?+（y0?y）/b?=1.
（3）双曲线x?/a?-y?/b?=1(a＞0,b＞0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A?a?-B?b?=c?.
(五)抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.这个定点F叫抛物线的焦点,这条定直线l叫抛物线的准线.
需强调的是,点F不在直线l上,否则轨迹是过点F且与l垂直的直线,而不是抛物线.
2．抛物线的方程有四种类型：
y?=2px、y?=-2px、x?=2py、x?=-2py.
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开
口方向向x轴或y轴的负方向.
3．抛物线的几何性质,以标准方程y2=2px为例
（1）范围：x≥0；
（2）对称轴：对称轴为y=0,由方程和图像均可以看出；
（3）顶点：O（0,0）,注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率：e=1,由于e是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；
（5）准线方程x=-p/2；
（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1,y1）,F为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：
y?=2px,|PF|=x1+p/2；y?=-2px,|PF|=-x1+p/2
x?=2py,|PF|=y1+p/2；x?=-2py,|PF|=-y1+p/2
（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式.设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB,A（x1,y1）,B（x2,y2）,AB的倾斜角为α,则①|
AB|=x +x +p②|AB|=2p/(sina)?这两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦长公式”来求.
（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x +bx+c=0,当a≠0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可；但如果a=0,则直线是抛
物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时,直线和抛物线相交,但只有一个公共点.
4.抛物线y?=2px上的动点可设为P(y0?/2p,y0)或P(y0?/2p,y0)或P（x0,y0）,其中 y0?=2px0.
5.二次函数y=ax?+bx+c=a(x+b/2a)?+ [ (4ac-b?)/4a ]（a≠0）的图象是抛物线：（1）顶点坐标为[-b/2a,（4ac-b?）/4a]；（2）焦点的坐标为[-b/2a,（4ac-b?+1）/4a]；（3）准线方
程是y=（4ac-b?+1）/4a.
6.抛物线的内外部
(1)点P（x0,y0）在抛物线y?=2px（p＞0）的内部,得出y?＜2px（p＞0）.
点P（x0,y0）在抛物线y?=2px（p＞0）的外部,得出y?＞2px（p＞0）.
(2)点P（x0,y0）在抛物线y?=-2px（p＞0）的内部,得出y?＜-2px（p＞0）.
点P（x0,y0）在抛物线y?=-2px（p＞0）的外部,得出y?＞-2px（p＞0）.
(3)点P（x0,y0）在抛物线x?=2py（p＞0）的内部,得出x?＜2py（p＞0）.
点P（x0,y0）在抛物线x?=2py（p＞0）的外部,得出x?＞2py（p＞0）.
(4)点P（x0,y0）在抛物线x?=-2py（p＞0）的内部,得出x?＜-2py（p＞0）.
点P（x0,y0）在抛物线x?=-2py（p＞0）的外部,得出x?＞-2py（p＞0）.
7. 抛物线的切线方程
(1)抛物线y?=2px（p＞0）上一点P（x0,y0）处的切线方程是y0?y=p(x+x0).
(2)过抛物线y?=2px（p＞0）外一点P（x0,y0）所引两条切线的切点弦方程是y0?y=p(x+x0).
(3)抛物线y?=2px（p＞0）与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB?=2AC.
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解析几何
（1）（x+kx）^2+(2y)^2=(x-kx)^2+(4)^2
整理得：kx^2+y^2=4
当k>0时，轨迹为椭圆
当k=0时，轨迹为两条直线
当k<0时，轨迹为焦点在Y轴上的双曲线
（2）当k=4/3时，方程：x^2/3+y^2/4=1(椭圆)
接下来我认为题目有问题：|向量PF1|-|向量PF2|=1 可解得P点坐标，又F2为定点，
若存在以PQ为直径的圆G过点F2，则：向量PF2*QF2=0，有且仅有一个Q符合条件，不存在Q点轨迹问题。
解析几何
解：设PA的斜率为k，其方程为y=k(x+2)，P在x轴上方，y∈(0,2]
由AB是圆O：x²+y²=4的直径，得 PA⊥PB ∴ K1=-1/k
将y=k(x+2)代入椭圆E：x²/4+y²=1，得 y[(4k²+1)y-4k]=0
解，得 y1=0，y2=4k/(4k²+1) ∴ x1=-2，x2=(2-8k²)/(4k²+1)
即 xD=(2-8k²)/(4k²+1)，yD=4k/(4k²+1) ∴ K2=4k/(1-12k²)
由K1=xK2，得 x=K1/K2=(12k²-1)/4k²=3-1/4k²∈(-∞,3)
高中几何知识点总结
高中几何知识点总结 高中几何是研究空间结构及性质的一门学科。下面高中几何知识点总结是我想跟大家分享的，欢迎大家浏览。 高中几何知识点总结 一 、空间几何体 (一)棱柱、棱锥、棱台 1、棱柱：一般地，由一个 沿某一方向 形成的空间几何体叫做棱柱。 (1)棱柱的底面、侧面、侧棱、表示方法、分类以及侧棱的性质 (2)直棱柱、正棱柱、平行六面体的概念 2、棱锥： 叫做棱锥。 (1)棱锥的底面、侧面、侧棱、表示方法、分类以及侧棱的性质 (2)正三棱锥与正四面体的概念 3、棱台： 叫做棱台。 (1)棱台的上下底面、侧面、侧棱、表示方法、分类以及侧棱的性质 (2)正棱台的概念 (3)棱台的检验方法(侧棱延长交于一点，上下底面相似且平行) (二)圆柱、圆锥、圆台、球 1、旋转面：一般地，一条 绕 旋转所形成的 2、旋转体： 叫做旋转体。 3、圆柱、圆锥、圆台：将 、 、 分别绕它的 、 、 、所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。 (1)圆柱、圆锥、圆台的轴、底面、侧面、母线 (2)利用“平移”、“缩”、“截”的方法定义棱柱、棱锥、棱台 4、球面： 叫做球面。 球体： 叫做球体，简称球。 5、圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面与旋转面的关系 (三)直观图画法 1、消点： 2、直观图画法步骤： 二 、点、线、面之间的位置关系 1、 平面基本性质 公理1 如果一条直线上的 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么他们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。 公理3 经过 的三点，有且只有一个平面。 (2) 线面垂直：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，称为线面垂直，记作 ，垂线、垂面、垂足。 (3) 面面平行：如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面平行。 面面垂直：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，3、 线线关系 位置关系 相交直线 平行直线 异面直线 共面关系 公共点个数 4、 线面关系 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 直线 在平面 内 直线 与平面 相交 直线 与平面 平行 5、 面面关系 图形表示 6、 各类“平行”之间的转化 条件 线线平行 结论 如果 ∥b，b∥c， 那么 ∥c 如果 ∥b， ，b， 那么 ∥ 如果 ，b， 面面平行 ∩b=P，cβ， 如果 ，如果 ∥β，如果 ⊥ ， ⊥β，如果 ∥ ， β，β∩=b，那么 ∥b 线面平行 面面平行 如果 ∥β， 垂直关系 线线平行 ∩γ=，β∩γ=b，那么 ∥b 如果 ∥β， ，那么 ∥β 如果 ⊥ ，b⊥ ，那么 ∥b 线面平行 —— —— b ,∩b=P,∥β,b ∥β，那么 ∥β β∥γ，那么 ∥γ 那么 ∥β d β，c∩d=Q,∥c， b∥d，那么 ∥β 7、 各类“垂直”之间的转化 条件 线线垂直 结论 如果 ⊥ ，b，那么 ⊥b 如果三个平面两两垂直，那么它们交 线两两垂直 如果 ⊥β —— 那么 ⊥β 如果 ⊥ ， β，那 么β⊥ —— ，如果 ∥b， ⊥c，那么b⊥c 线面垂直 面面垂直 平行关系 线线垂直 —— 线面垂直 如果 ⊥b， ⊥c，b，c，b∩c=P，那么 ⊥ 定义(二面角等于 90) 0α∩β=b， ,⊥b，如果 ⊥ ，b∥ ，那么b⊥ 面面垂直 —— 8、 立体几何中的“角” (1) 异面直线所成的角：将两异面直线平移得到两相交直线，这两条香蕉直线所成的 锐角或直角就是这两条异面直线所成的角。 ①范围 ;②如何找异面直线所成的角：找异面直线的平行线。 (2) 线与面所成的角：直线与在该平面内的射影所成的角。 ①范围 ;②如何找线面角：找直线的射影。 (3) 面与面所成的角(二面角) 二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角。 ①范围 ;②如何找面面角：找棱上的垂线。 9、 立体几何中的“距离” (1) 点面距：从平面外一点引平面的垂线，叫做这个点到这个平面的距离。 (2) 线面距：直线与平面平行，那么直线上任意一点到到平面的距离(都相等)称为 直线到平面的距离。 (3) 面面距：两平面平行，那么任一平面上的任意一点到另一平面的距离(都相等， 亦即公垂线段)称为两个平行平面间的距离。 公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线。 注：①“平行”才谈距离;②线面距、面面距都要转化为点面距。 一、 平面. 1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内. 2. 两个平面可将平面分成3或4部分.(①两个平面平行，②两个平面相交) 3. 过三条互相平行的直线可以确定个平面.(①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行) [注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个. 4. 三个平面最多可把空间分成部分.(X、Y、Z三个方向) 二、 空间直线. 1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线(×).(可能两条直线平行，也可能是点和直线等) ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 ③若直线a、b异面，a平行于平面 ，b与 的关系是相交、平行、在平面 内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线，也可以是其他图形) ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段) ⑦ 是夹在两平行平面间的线段，若 ，则 的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) 3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等(如下图). (二面角的取值范围 ) (直线与直线所成角 ) (斜线与平面成角 ) (直线与平面所成角 ) (向量与向 量所成角 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角(或直角)相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交(共面)垂直和异面垂直. 是异面直线，则过 外一点P，过点P且与 都平行平面有一个或没有，但与 距离相等的点在同一平面内. ( 或 在这个做出的平面内不能叫 与 平行的平面) 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直. 1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. 2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行，线面平行”) [注]：①直线 与平面 内一条直线平行，则 ∥ . (×)(平面外一条直线) ②直线 与平面 内一条直线相交，则 与平面 相交. (×)(平面上一条直线) ③若直线 与平面 平行，则 平面内必存在无数条直线与已知直线平行. (√)(不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之) ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. (×)(可能在此平面内) ⑤平行于同一直线的两个平面平行.(×)(两个平面可能相交) ⑥平行于同一个平面的两直线平行.(×)(两直线可能相交或者异面) ⑦直线 与平面 、 所成角相等，则 ∥ .(×)( 、 可能相交) 3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.(“线面平行，线线平行”) 4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 若 ⊥ ， ⊥ ，得 ⊥ (三垂线定理)， 得不出 ⊥ . 因为 ⊥ ，但 不垂直OA. 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的'判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.(“线线垂直，线面垂直”) 直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.(×)(可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行) ②垂直于同一直线的两个平面平行.(√)(一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面) ③垂直于同一平面的两条直线平行.(√) 5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长;③垂线段比任何一条斜线段短. [注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.(×)] ⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 四、 平面平行与平面垂直. 1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行. 2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.(“线面平行，面面平行”) 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面. 3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.(“面面平行，线线平行”) 4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.(“线面垂直，面面垂直”) 注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系. 5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. 推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. 证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于 ， 因为 则 . 6. 两异面直线任意两点间的距离公式： ( 为锐角取加， 为钝取减，综上，都取加则必有 ) 7. ⑴最小角定理： ( 为最小角，如图) ⑵最小角定理的应用(∠PBN为最小角) 简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条. 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条. 成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有. 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱. ⑴①直棱柱侧面积： ( 为底面周长， 是高)该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. ②斜棱住侧面积： ( 是斜棱柱直截面周长， 是斜棱柱的侧棱长)该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的. ⑵{四棱柱} {平行六面体} {直平行六面体} {长方体} {正四棱柱} {正方体}. {直四棱柱} {平行六面体}={直平行六面体}. ⑶棱柱具有的性质： ①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. (×) (直棱柱不能保证底面是钜形可如图) ②(直棱柱定义)棱柱有一条侧棱和底面垂直. ⑷平行六面体： 定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点. 定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为 ，则 . 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为 ，则 . [注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(×)(斜四面体的两个平行的平面可以为矩形) ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×)(应是各侧面都是正方形的直棱柱才行) ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.(×)(只能推出对角线相等，推不出底面为矩形) ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. (两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件) 2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形. ②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以 . ⑴①正棱锥定义：底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形) ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角 形(即侧棱相等);底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积： (底面周长为 ，斜高为 ) ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式： (侧面与底面成的二面角为 ) 附： 以知 ⊥ ， ， 为二面角 . 则 ①， ②， ③ ①②③得 . 注：S为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法). ⑵棱锥具有的性质： ①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高). ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. ⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置： ①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂 心. ⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径; ⑧每个四面体都有内切球，球心 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径. [注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.(×)(各个侧面的等腰三角形不知是否全等) ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 简证：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令 得 ，已知 则 . iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC中点 ，则 平面 90°易知EFGH为平行四边形 EFGH为长方形.若对角线等，则 为正方形. 3. 球：⑴球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式： . ②球的体积公式： . ⑵纬度、经度： ①纬度：地球上一点 的纬度是指经过 点的球半径与赤道面所成的角 的度数. ②经度：地球上 两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是 点的经度. 附：①圆柱体积： ( 为半径， 为高) ②圆锥体积： ( 为半径， 为高) ③锥形体积： ( 为底面积， 为高) 4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a， ， ， 得 . 注：球内切于四面体： ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式. 六. 空间向量. 1. (1)共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注：①若 与 共线， 与 共线，则 与 共线.(×) [当 时，不成立] ②向量 共面即它们所在直线共面.(×) [可能异面] ③若 ∥ ，则存在小任一实数 ，使 .(×)[与 不成立] ④若 为非零向量，则 .(√)[这里用到 之积仍为向量] (2)共线向量定理：对空间任意两个向量 ， ∥ 的充要条件是存在实数 (具有唯一性)，使 . (3)共面向量：若向量 使之平行于平面 或 在 内，则 与 的关系 是平行，记作 ∥ . (4)①共面向量定理：如果两个向量 不共线，则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对x、y使 . ②空间任一点O和不共线三点A、B、C，则 是PABC四点共面的充要条件.(简证： P、A、B、C四点共面) 注：①②是证明四点共面的常用方法. 2. 空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使 . 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使 (这里隐含x+y+z≠1). 注：设四面体ABCD的三条棱， 其 中Q是△BCD的重心，则向量 用 即证. 3. (1)空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴(对应为横坐标)，y轴是纵轴(对应为纵轴)，z轴是竖轴(对应为竖坐标). ①令 =(a1,a2,a3), ，则 ∥ (用到常用的向量模与向量之间的转化： ) ②空间两点的距离公式： . (2)法向量：若向量 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 ，如果 那么向量 叫做平面 的法向量. (3)用向量的常用方法： ①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面 的法向量， AB是平面 的一条射线，其中 ，则点B到平面 的距离为 . ②利用法向量求二面角的平面角定理：设 分别是二面角 中平面 的法向量，则 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小( 方向相同，则为补角， 反方，则为其夹角). ③证直线和平面平行定理：已知直线 平面 ， ，且CDE三点不共线，则a∥ 的充要条件是存在有序实数对 使 .(常设 求解 若 存在即证毕，若 不存在，则直线AB与平面相交). ;
高中数学平面解析几何知识点归纳
高中数学平面解析几何知识点有哪些你知道吗?近年的高中数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，一起来看看高中数学平面解析几何知识点，欢迎查阅! 目录 高中数学平面解析几何知识点 平面解析几何基本理论 高中数学平面几何解析 高中数学平面几何的学习技巧 高中数学平面解析几何知识点 平面解析几何初步： ①直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单独考查多以选择题、填空题出现;间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合为主，多为中、高难度试题，往往作为把关题出现在高考题目中。直接考查主要考查直线的倾斜角、直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查一定会出现在高考试卷中，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。 ②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的'集合性质的讨论，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中 热点 为圆的切线问题。③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。空间直角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用，也不排除出现考查基础知识的选择题和填空题。 高中数学平面解析几何知识点 平面解析几何，又称解析几何(英语：Analytic geometry)、坐标几何(英语：Coordinate geometry)或卡氏几何(英语：Cartesian geometry)，早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。 平面解析几何基本理论 坐标 在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标。最常见的是笛卡儿坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应水平位置，和y-坐标对应垂直位置。这些常写为有序对(x,y)。这种系统也可以被用在三维几何当中，空间中的每个点都以多元组呈现(x,y,z)。坐标系也以 其它 形式出现。在平面中最常见的另类坐标系是极坐标系，其中每个点都以从原点出发的半径r和角度θ表示。在三维空间中，最常见的另类坐标系统是圆柱坐标系和球坐标系。 曲线方程 在解析几何当中，任何方程都包含确定面的子集，即方程的解集。例如，方程y=x在平面上对应的是所有x-坐标等于y-坐标的解集。这些点汇集成为一条直线，y=x被称为这道方程的直线。总而言之，线性方程中x和y定义线，一元二次方程定义圆锥曲线，更复杂的方程则阐述更复杂的形象。通常，一个简单的方程对应平面上的一条曲线。但这不一定如此：方程x=x对应整个平面，方程x2+y2=0只对应(0,0)一点。在三维空间中，一个方程通常对应一个曲面，而曲线常常代表两个曲面的交集，或一条参数方程。方程x2+y2=r代表了是半径为r且圆心在(0,0)上的所有圆。 距离和角度 在解析几何当中，距离、角度等几何概念是用公式来表达的。这些定义与背后的欧几里得几何所蕴含的主旨相符。例如，使用平面笛卡儿坐标系时，两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离d(又写作|AB|被定义为 上述可被认为是一种勾股定理的形式。类似地，直线与水平线所成的角可以定义为 其中m是线的斜率。 变化 变化可以使母方程变为新方程，但保持原有的特性。 交集 主题问题编辑解析几何中的重要问题： 向量空间 平面的定义 距离问题 点积求两个向量的角度 外积求一向量垂直于两个已知向量(以及它们的空间体积) 高中数学平面几何解析 平面解析几何基本理论 平面解析几何初步综合检测 高中数学平面几 1圆的知识应用 圆的方程有这两个表达方式， (1)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，其中(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径。 (2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2+4F>0)，圆心坐标为：(-2/D，-2/E)，半径为：r=。 例：设f(x)=(x-2005)(x+2006)的图像与坐标有三个交点A、B、C，则过圆与坐标轴的另一交点D坐标为多少?我们可以进行如下分析： 若求得函数f(x)=(x-2005)(x+2006)与坐标轴的交点A(2005，0)B(-2006，0)，C(0，-2005×2006)，然后求出A、B、C三点的圆的方程，最后求圆与坐标轴的另一交点显然运算量过大，若考虑过三点A、B、C的圆与O点的关系，设另一交点D，则可借助相交弦定理：|OA|·|OB|=|OC|·|OD|，可以得到2005×2006=2005×2006·|OD|，则|OD|=1，因此D点的坐标为(0，1)，因此在做题时应当注意思维的发散运用。 3.2双曲线的知识应用 由双曲线的标准方程为： (1)-=1(a>1，b>0)焦点为(±c，0) (2)-=1(a>0，b>0)焦点为(0，±c) A、b、c的关系为：c2=a2+b2 双曲线的渐近线方程：y=±x 例：已知双曲线-=1(a>1，b>0)的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=|PF2|。求双曲线离心率e的最大值，并写出此时双曲线的渐近线方程。我们可以这样考虑： 由|PF1|=3|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a得到|PF2|=a，c-a≤|PF2|，则c≤2a，所以e=≤2，当e取最大值2时，== 所以双曲线的渐近线方程为：y=± 3.3线性关系证明应用 如下图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F，证明∠DEN=∠F。分析如下： 以M为原点，AB为X轴，以垂直方向线段为Y轴建立坐标系，可以把CD看做是圆周上的动点，设AD=BC=r，则C点可以看做是以B为圆心，r为半径的圆周上的动点，D点同样对待，这样我们就可以得到： C(rcosθ，rsinθ)、D(-a+rcosφ，rsinφ)，由此可得， N(，)所以=tan 从而证明出∠DEN=∠F。 何的学习技巧 高中数学平面几何的学习技巧 几何学被广泛应用在科学研究和生活建筑的各个方面，要学好平面几何，可以从以下几个方面把握相关技巧： 第一，在概念和定理的学习中，概念要学会转化成几何语言来表述，定理要分清适用条件和适用图形。例如一个简单的例子，对于线段中点的定义，我们可以转化成这样的几何方式：点A、B、C在同一直线上，由于AC=BC，所以C点是线段中点，我们还可以倒过来想，若C是中点，可以得到2AC=2BC=AB，这样我们就能清楚地看到其包含的计算关系。 第二，在例题和练习题的学习中，例题能够促进课文中基本概念、定理等基础知识的掌握，练习题则可以考验学生对其运用的灵活度，若能有效地进行练习，就能达到举一反三的效果。 知识点归纳相关 文章 ： ★ 高中数学复习方法及解析几何知识点整理 ★ 高中数学必考知识点归纳整理 ★ 怎样学习高中数学平面解析几何怎样才最有效 ★ 高一数学解析几何题答题全攻略 ★ 高中数学必考知识点归纳 ★ 高考数学知识点归纳整理 ★ 高中数学考点整理归纳 ★ 高中数学知识点总结 ★ 高考数学知识点整理 ★ 高考数学复习知识点整理 var _hmt = _hmt || []; (function() { var hm = document.createElement("script"); hm.src = "https://hm.baidu.com/hm.js?3b57837d30f874be5607a657c671896b"; var s = document.getElementsByTagName("script")[0]; s.parentNode.insertBefore(hm, s); })();